Drugie zasadnicze twierdzenie rachunku całki oznaczonej Riemanna - twierdzenie Newtona-Leibniza
Podamy drugie podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, zwane twierdzeniem Newtona-Leibniza, które pozwala powiązać całkę oznaczoną funkcji ciągłej z całką nieoznaczoną.
Twierdzenie 1: Newtona-Leibniza
Jeżeli \( f:[a,b] \to \mathbb{R} \) jest funkcją ciągłą, natomiast \( g: [a,b] \to \mathbb{R} \) jest jej dowolną funkcją pierwotną, to zachodzi równość
DOWÓD
Skoro funkcja \( f \) jest ciągła, to na mocy twierdzenia o funkcji górnej granicy całkowania funkcja \( F \) jest różniczkowalna i zachodzi równość \( F^{\prime}(x)=f(x) \) we wszystkich punktach \( x \in (a,b) \). Oznacza to, że \( F \) jest funkcją pierwotną funkcji \( f \). Ponieważ każde dwie funkcje pierwotne danej funkcji różnią się o stałą, to dla pewnej liczby rzeczywistej \( C \) oraz dowolnego \( x \in [a,b] \) zachodzi równość
Z definicji funkcji \( F \) wynika, że
a skoro \( F(a)=\int\limits_a^a f(t) dt=0 \), to możemy kontynuować obliczenia, zapisując
gdzie ostatnia równość wynika z ( 2 ). Połączenie ( 3 ) z ( 4 ) implikuje żądany wzór i kończy dowód twierdzenia.
CND.
Różnicę wartości funkcji pierwotnej na końcach przedziału występującą we wzorze ( 1 ) zapisujemy również w następujący sposób: